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从一道中考数学题谈起 请看2005年济南市中考试题的压轴题：我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）。我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，就能够拼成一个平面图形。某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法： 如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°•x＋120°•y=360°，化简得x＋2y=6。因为x,y都是正整数，所以只有当x=2，y=2或x=4，y=1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形如图1（1），（2），（3）。 （1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图1（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）； （2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图。 赏析 平面图形的镶嵌是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面，也是开发、培养我们创造性思维的一个重要渠道，本题涉及密铺的原理、整数的性质及图案的设计等问题。 解 （1）用x个正三角形，y个正方形进行镶嵌，可得60°•x＋90°•y=360°。 即2x＋3y=12 因为x,y都是正整数，所以只有当x=3，y=2时上式才成立。 即用三个正三角形和两个正方形可以进行平面密铺，拼法如图（1）、（2）。 （2）如图3所示。 还可以进行下面的探究： 探究一 只用一种正多边形镶嵌的情形。 假定正多边形有n条边，镶嵌图案中重合的顶点处内角的个数为m，则得此正多边形的内角大小为 。根据镶嵌图案的特点：在拼接点处各角的和是360°，得 ，化简，得 ，所以符合条件的正整数解共三组：m=6，n=3；m=4，n=4，m=3，n=6。......
