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2015届高考数学一轮复习(基础+提升)第2讲 不等式的证明精品课时训练 北师大版选修4-5
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第2讲 不等式的证明
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、填空题
1.(2013•江苏卷改编)已知a≥b>0,M=2a3-b3,N=2ab2-a2b,则M、N的大
小关系为________.
解析 2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)
=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,故2a3- b3≥2ab2-a2b.
答案 M≥N
2.已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是_______ _.
解析 由柯西不等式(2x2+3y2)• 122+ 132
≥2x•12+3y•132=(x+y)2=1,
∴2x2+3y2≥65,当且仅当2x=3y,即x=35,y=25时,等号成立.
答案 65
3.若直线3x+4y=2,则x2+y2的最小值为________,最小值点为________.
解析 由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,
得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥425.
当且仅当x3=y4时等号成立,为求最小值点,
需解方程组3x+4y=2,x3=y4.∴x=625,y=825.
因此,当x=625,y=825时,x2+y2取得最小值,最小值为425,最小值点为625,825.
答案 425 625,825